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正规矩阵 - 小鱼吻水 - 博客园

时间:2020-03-21

  . 由特征多项式、代数重数与几何重数定义 2.3 知,一个矩阵可对角化,当且仅当它是无亏的, 所以说正规矩阵是无亏的.

  两个矩阵有同样的特征值不一定是相似的,定理 2 中(b) 说明了如果它们是正规矩阵,那就肯定是相似的. 接下来注意可交换的正规矩阵可以同时酉对角化.

  证明:由酉三角化中定理 1.2 知:由复矩阵组成的一个交换族可以通过单独一个酉相似同时化简为上三角型,又已知正规的三角矩阵必定是对角矩阵这一事实即可证明.关于\(A_0\)的结论,了解即可.

  定理 1 应用于 Hermite 矩阵这种特征情形就会得到一个基本的结果,它称之为关于Hermite 矩阵的谱定理.

  证明:Hermite 对角矩阵的对角元素必定是实数,所以 (a) 就从 (b) 以及如下事实推出: Hermite 矩阵的集合在酉相似之下是封闭的. Hermite 矩阵是正规的,所以可酉对角化. 命题 (c) 是 (b) 的复述并加入了如下信息:\(\Lambda\)的对角元素必定是\(A\)的特征值.

  实的正规矩阵可能通过复的酉相似对角化. 但是通过实正交相似可以得到何种特殊形式呢?由于实正规矩阵可能有非实的特征值,有可能无法用实相似使之对角化. 然而,每一个实矩阵都与一个实的似三角实正交相似,这个拟三角矩阵必定还是拟对角的,如果它是正规的.

  它满足下述性质:上式中的那些\(1\times 1\)直和项给出\(A\)所有实的特征值.\(2 \times 2\)直和项有特殊的形式

  (b) 式 \ref{e5} 中的直和项由\(A\)的特征值完全决定,它们可以按照任意预先指定的次序出现.

  (c) 两个实的\(n \times n\)正规矩阵是实正交相似的,当且仅当它们有同样的特征值.

  证明:实 Schur 型确保\(A\)与一个实的上拟三角矩阵实正交相似,它的每一个\(2 \times 2\)对角分块有一对非实的共轭特征值. 由于这个拟三角矩阵是正规的,所以它实际上是拟对角的,且它的每一个\(2 \times 2\)直和项都是正规的,且有一对共轭的非实特征值. 上一个引理告诉我们:这些\(2 \times 2\)直和项中的每一个都有特殊的形式 \ref{e6}, 其中\(b \neq 0\). 如果必要,我们可以通过矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)做成的相似来确保\(b0\). (b) \ref{e5} 中的直和项给出了\(A\)所有的特征值,且通过置换相似还能使得这些直和项按照所期望的任何次序排列. (c) 两个有同样的特征值的实的\(n \times n\)正规矩阵与同一个形如 \ref{e5} 的直和实正交相似.

  上一个定理揭示出实正规矩阵在实正交相似下的标准型. 它引导到实对称矩阵、实的斜对称矩阵以及实正交矩阵在实正交相似之下的标准型.