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正规矩阵的性质

时间:2020-03-21

  

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  矩阵的基本性质矩阵的第第列的元素为。我们或()表的单位矩阵。1.矩阵的加减法(1),对应元素相加减(2)矩阵加减法满足的运算法则a.交换律:b.结合律:c.d.2.矩阵的数乘(1),各元素均乘以常数(2)矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律:b.矩阵对数的分配律:c.结合律:d.3.矩阵的乘法(1),左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素(2)矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有b.分配律:c.结合律:d.数乘结合律:4.矩阵的转置,(1)矩阵的幂:,,…,(2)矩阵乘法满足的运算法则a.b.c.d.5.对称矩阵:即;反对称矩阵:即(1)设为(反)对称矩阵,则仍是(反)对称矩阵。(2)设为对称矩阵,则或仍是对称矩阵的充要条件=。(3)设为(反)对称矩阵,则,也是(反)对称矩阵。(4)对任意矩阵,则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.(5)6.Hermite矩阵:即;反Hermite矩阵,即a.b.c.d.e.f.(当矩阵可逆时)7.正交矩阵:若,则是正交矩阵(1)(2)(3),8.酉矩阵:若,则是酉矩阵(1)(2)(3),(4)9.正规矩阵:若,则是正规矩阵;若,则是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式(1)为矩阵的迹;或为行列式(2);注:矩阵乘法不满足交换律(3)(4),为酉矩阵,则(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12),,则其中为奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵(1)设由行列式的代数余子式所构成的矩阵(2)12.矩阵的逆

  定理1:在复数域上,A为正规矩阵的充分必要条件为A有n个两两正交的单位特征向量