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酉矩阵和正交矩阵的性质和应用概览doc

时间:2020-03-20

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  0 前 言 1 1 欧式空间和正交矩阵 2 1.1 欧式空间 2 1.2 正交矩阵的定义和性质 2 1.2.1 正交矩阵的定义和判定 2 1.2.2 正交矩阵的性质 4 2正交变换的定义和性质 12 2.1正交变换定义的探讨 12 2.2正交变换的判定 14 2.3正交变换的性质 15 3正交矩阵的应用 17 3.1正交矩阵在线利用正交矩阵化二次型为标准形 22 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 22 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 23 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 25 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 27 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 36 4 酉空间和酉矩阵 39 4.1 酉空间 39 4.1.1 酉空间的定义 39 4.1.2 酉空间的重要结论 39 4.2 酉矩阵 41 4.2.1 酉矩阵的定义 41 4.2.2 酉矩阵的性质 41 5酉矩阵的应用 50 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 50 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 55 6 正交矩阵与酉矩阵 59 7结论 62 参考文献 63 致谢 64 0 前 言 正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果. 在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质;2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换;2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质;2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础. 在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果. 1 欧式空间和正交矩阵 1.1 欧式空间 设是实数域上一个线性空间,在上定义了一个二元实函数称为内积,记作,它具有以下性质: 1) (对称性); 2) (线) (线) 是非负实数,且当且仅当(正定性). 这里是中任意的向量是任意实数这样的线 正交矩阵的定义和性质 在欧式空间中由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;反过来如果第一组基是标准正交基同时过渡矩 定义1.1 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵. 定义1.2 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵. 定义1.3 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵. 定义1.4 为阶实矩阵,若的为正交矩阵. 由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理: 判定定理 1 为正交矩阵. 判定定理 2 为正交矩阵当且仅当的行向量组满 其中且是记号即的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基为正交矩阵 . 判定定理 3 为正交矩阵当且仅当的列向量组满是记号即的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基 证明 为正交矩阵 例 判断矩阵其中是实数是否是正交矩阵 解 因此是正交矩阵 1.2.2 正交矩阵的性质 性质1 设为正交矩阵则 1) ; ) 可逆,即存在,其逆也是正交矩阵; 3) 也是正交矩阵.并且当为阶正交矩阵时,当时,,即;当时,即. 证明 1) 由,可知,则.对正交矩阵,当时,我们称为第一类正交矩阵;当时,则称为第二类正交矩阵. 2) 由可知可逆且又,故是正交矩阵. 3) 由1)知,是正交矩阵.而由,可以得出 ,故是正交矩阵.由,当时,,即;当时,,即. 性质2 设都是阶正交矩阵,则 1) , (为自然数),,,,等都是正交矩阵 2) 也是正交矩阵 3) 准对角矩阵为正交矩阵均为正交阵 证明 由可知所以为正交矩阵从而再由性质1可推知(为自然数),,,,等均为正交矩阵 2) 因为 及 故是正交矩阵准对角矩阵为正交矩阵 均为正交阵 性质3 1阶正交矩阵只有 性质4 2阶矩阵为正交矩阵的充要条件是为下列四型之一: ; ; ; 其中; 性质5 设为阶正交矩阵且则必不可逆即; 设为奇数阶正交矩阵且则必不可逆即; 设是第二类正交矩阵则必不可逆; 设是奇数阶第一类正交矩阵则必不可逆 证 得即不可逆 知当为奇数时 ,即从而不可逆 由是第二类正交矩阵则而 所以即必不可逆 由是第一类正交矩阵则而所以当是奇数时有即必不可逆 性质6 阶非零矩阵为正交矩阵的充要条件是对任意的阶矩阵有 证明 设是阶正交矩阵由得从而根据矩阵理论可知对任意阶矩阵有 充分性. 设对任意的阶矩阵. 特别地我们可选取这里表示位于第行第列交叉位置上的元素为1其余元素均为零的阶矩阵记那么 记的个列分别为于是有 所以易知而由矩阵是1阶矩阵可知 综合以上数式可得 进而得到 由此即知为正交矩阵 正交矩阵的性质主要有以上几点另外还有以下性质例如 7 正交矩阵的实特征值的模为1且属于不同特征值的特征向量相互正交 证明 设为正交矩阵为的实特征值为对应的实特征向量则取共轭转置得再右乘有利用得由于所以故有,则易得由是正交矩阵,则故而因此即正交矩阵对应不同的特征值的特征向量是相互正交的. 性质8 如果是正交矩阵的特征值那么也是它的特征值 证明 设是的特征值则由于是正交矩阵于是但与的特征值全部相同而是的特征值因此是的特征值 性质9 奇数维欧式空间的旋转一定以1作为它的一个特征值 证明 设旋转对应的正交矩阵为那么 由于为奇数且于是故即1为的一个特征值 性质10 设均为阶正交矩阵 (1)当时则是的特征值; 当且为偶数时则1是的特征值; 当且为奇数时则1是的特征值 证明 只需证 事实上 其中 从而得证是的特征值 (2,3)只需证事实上 当且为偶数时 当且为奇数时 从而得证1是的特征值 性质11 设均为阶正交矩阵为的特征多项式则 当 为偶数时 其中 为奇数时 其中 当 为偶数时 其中 为奇数时 其中 证明 正交矩阵的特征多项式为其中为的一切阶主子式的和乘以 令为的阶主子式为阶主子式的代数余子式为的余子式 若则因为的阶主子式所以为的阶主子式故的一切阶主子式之和等于的一切阶主子式之和 为偶数时有奇数项由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中 故 为奇数时有偶数项由且为所有的之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号故 所以若当为偶数时的特征多项式有奇数项它以为中间项左右对称项的系数相同其中包括首项系数与常数项;当为奇数时的特征多项式有偶数项处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号因首项系数1,且为故也包括在内 若则故的一切阶主子式之和与的一切阶主子式之和仅差一个符号 为偶数时有奇数项由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中 故 为奇数时有偶数项由且为所有的阶主子式之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号 故 所以若当为偶数时的特征多项式有奇数项它以为中间项左右两边对称项的系数相差一符号因首项系数为1为故也包括在内;当为奇数时的特征多项式有偶数项处于对称位置的左右两端系数相同其中包括首项系数与常数项均为1也包括在内 性质13 正交矩阵的一切阶主子式之和与一切相应阶主子式之和或相等或仅差一符号性质1 正交矩阵可以对角化即存在复可逆阵,其中为的全部特征值即 性质1 对称正交矩阵的行列式 证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或设的个特征值中有个则剩下的就是个1由 所以 例如对称正交阵有 性质1 当阶正交矩阵为基础循环矩阵时则它的全部特征值为实根且为个次单位根 证明 设为基础循环矩阵可知的特征多项式为则其特征根为 故为次单位根 2正交变换的定义和性质 在标准正交积下正交变换与正交矩阵对应本文中提到在探讨性质应用之前先得了解正交矩阵的出处正交矩阵来自于正交变换的定义设(V)是欧几里得空间的线性变换如果保持内积不变也就是说对任意的有正交变换是保内积的也即保长度和夹角则变换前后的图形全等 设是欧氏空间的一个线性变换如果保持向量内积不变即对都有则它是正交变换 定义2.1.2 设是欧氏空间的一个线性变换如果保持向量的长度不变即对有则此线性变换叫做正交变换 因此由上述可知,在线性变换的前提条件下,保持向量的长度不变与保持向量的内积不变是等价的. 探讨1 事实上,我们可以对定义2.1.1作一个修改.在此之前,我们先看下面 的命题: 命题 设是欧氏空间的一个变换如果保持向量内积不变即有则它一定是线性的因而也是正交变换. 先证对有 故即 其次再证 即 是线性变换因此也是正交变换. 由命题可知定义1中是线性变换是多余的因此定义可以修改为: 欧氏空间中的一个变换若它保持向量内积不变即有则为正交变换. 由定义1到定义1'将条件中线中的线性变换也降弱为变换?事实上这是不行的我们用一道考研题来说明 中国人民大学1991年考研试题: 欧式空间中保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换?若是给出证明若不是举出反例. 不一定是正交变换 例如设内积如通常所述定义 令则 ,显然 即变换保持长度不变但不是线性变换 设则, ,,显然 故不是正交变换 探讨3 在解析几何中正交变换是保持点之间距离不变的变换下面将研究在欧式空间中保持向量距离不变的变换是否为正交变换? 下面以一道山东大学考试题说明: 设欧氏空间定义为距离,问保持距离不变的变换是否为正交变换? 答 不一定是正交变换比如在中的向量平移 令则 显然它保持距离不变不是线性变换 但 而 不是线性变换也不是正交变换 总之,由以上讨论线性变换在欧氏空间的前提条件下,它保持向量的内积与保持向量长度以及保持向量距离不变是等价,但是在仅为欧氏空间的变换前提下上述三者之间不存在等价关系. 2.2正交变换的判定 定理 设是维欧式空间的一个线性变换则以下命题等价: 是正交变换; 是线性变换是标准正交积则也是标准正交积; 是线性变换在任意一组标准正交积下的矩阵是正交矩阵; 对任意的有 对任意的有 对任意的有 证明 用两步循环法: 其中见课本教材定理4.下面证明 是正交变换是线性变换故对任意的有是正交变换 对任意的有两边开方即得 设有 取则由有 由即 得是正交变换. 2.3正交变换的性质 性质1 正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转或者称为第一类的; 行列式等于的正交变换称为第二类的. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵的行列式等于的行列式. 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转或者称为第一类的; 行列式等于的正交变换称为第二类的. 性质2 第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值. 证明 设是一个第二类正交变换对应的矩阵则 由于 所以即-1是的一个特征值. 性质3 正交变换是欧氏空间的一个自同构映射. 设是的正交变换在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵它有逆矩阵故有逆变换因而是到上的双射. 对于任意的由是正交变换知 , 所以是到的一个自同构映射 性质4 正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换. 设是的正交换 及 知都是的线正交矩阵在线性代数中的应用 在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧式空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设向量令,则称阶矩阵 i列 j列 为初等旋转矩阵. 初等旋转矩阵是由向量的第两个元素定义的与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别. 设是由向量定义的初等旋转矩阵则有如下的性质: 1 是正交矩阵; 2 设则; 3 用左乘任一矩阵只改变的第行和行元素(用右乘任一矩阵只改变的第列和列元素). 证明 1 故是正交矩阵. 2 由得定义知用左乘向量只改变的第两个元素且 所以左乘使的第个分量非负第个分量为0其余分量不变. 3 根据 2 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 3.1.1 任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵且其对角线元素除最后一个外都是正的. 定理 3.1.1 设是阶正交矩阵 1 若则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积即; 2 若则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵即其中是初等旋转矩阵. 证明 由于是阶正交矩阵根据引理3.1.1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵而且得对角线上的元素除最后一个外都是正的所以有 由是正交矩阵和式得 即 (3-1-2) 设 其中则 由上式得 所以 (3-1-3) 于是由(3-1-1)和(3-1-3)式得 1 当时; 2 当时. 记是初等旋转矩阵故定理1结论成立. 引理 3.1.2 设秩则可以通过左连乘初等旋转矩阵把变为的形式其中是阶上三角阵是矩阵. 证明 由引理.1.1知其中是阶正交矩阵是阶上三角阵又根据定理3.1.1知其中是初等旋转矩阵. 1 当时令 2 当时 于是有显然是阶上三角阵 当时与除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外其余元素对应相等. 当时,所以由1、2知本定理的结论成立 设是欧式空间的子空间的一组基记是秩为的矩阵. 若满足理3.1.2的条件则存在初等旋转矩阵使 (3-1-4)且 (3-1-5) 由(3-1-4)(3-1-5)两式知对和做同样的旋转变换在把化的同时就将化成了而的前个列向量属于子空间 综上所述可得化欧式空间的子空间的一组基为一组准正交基的方法为其中 1 由知基为列向量构成矩阵; 2 对矩阵施行初等旋转变换化为同时就被化为正交矩阵这里是阶上三角阵; 3 取的前个列向量便可得的一组标准正交基 显然上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法 下面我们通过实例说明此方法的应用 例 3.1.1 求以向量为基的向量空间的一组标准正交基. 解 矩阵 对分块矩阵依次左乘其中 得 取 则就是由得到的的一组标准正交基. 任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量那么对称矩阵的对角化需要什么条件怎样进行对角化下面的讨论将给出答案 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 定理 3.2.1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设是阶实对称阵是的特征值是属于的特征向量于是有.令其中是的共轭复数则考察等式其左边为右边为.故=又因是非零量故即是一个实数. 实对称矩阵的特征值为实数所以齐次线性方程组为实系数方程组由知必有实的基础解系从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立. 例如,,均为实数而不是对称的. 设是实对称矩阵定义线) 则对任意向量有或. 证 只证明后一等式即可.. 定理 3.2.3 设是实对称矩阵则中属于的不同特征值的特征向量必正交. 证 设是的两个不同的特征值分别是属于的特征向量则.定义线中的于是.由有.因为所以.即正交. 定理 3.2.4 对任意一个级实对称矩阵都存在一个级正交矩阵使成为对角形且对角线上的元素为的特征值. 证 设的互不相等的特征值为它们的重数依次为.则对应特征值恰有个线性无关的实特征向量把它们正交化并单位化即得个单位正交的特征向量由知这样的特征向量共可得个.由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵则其对角矩阵中的对角元素含个…,个恰是的个特征值. 定理说明对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在使它化为对角形.定理的证明过程也给出了将实对称矩阵对角化找出正交阵的方法具体步骤如下: 求出实对称矩阵的全部特征值. 对每个由求出的特征向量. 用施密特正交法将特征向量正交化再单位化得到一组正交的单位向量组. 以这组向量为列作一个正交矩阵它就是所要求的正交阵. 根据上述讨论下面举例说明. 例 3.2.1 求一正交矩阵将实对称矩阵化为对角阵 解 由于的特征值为. 对由得基础解系 对由得基础解系,与恰好正交所以,两两正交. 再将,单位化令得, 于是得正交阵 则. 例 3.2.2 设求. 解 先将对角化求出正交阵. . 由分别得基础解系. 则,则. 利用求. 定理3.2.5 任意的一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根. 二次曲面的一般方程是 (3-2-2) 令 则(3-2-2)可以写成 (3-2-3) 经过转轴坐标变换公式为 其中为正交矩阵且在新坐标系中曲面的方程就是 根据上面的结果有行列式为1的正交矩阵使得 也就是说可以作一个转轴使得曲面在新坐标系中的方程为 其中 这再按照是否为零的情况作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程. 譬如说当全不为零时就作移轴 于是方程就可化为其中 例3.2.3 二次曲面直角坐标系. 作直角坐标变换把它化成标准方程并指出是什么二次曲面. 解 首先把方程左端的二次项部分 经过正交替换化成标准型.二次型的矩阵是 则存在正交矩使得 于是作正交替换可把二次型化成. 因此作直角坐标替换二次曲面在新的直角坐标系中的方程为 由此可以看出是单叶双曲面. 些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵包括:QR分解 奇异值分解 谱分解 极分解 设是可逆的阶实方阵. 求证:存在正交阵和正定阵使且这个分解式是唯一的;存在正交阵和正定阵使且这个分解式是唯一的. 证明 可逆正定从而存在正定阵使 即 现假设还有另一分解即则 为正交阵而的特征值为实数且是正的 可对角化即 分解式是唯一的. 后者对用已证结果可得. 推论1 设是一个阶实可逆矩阵是极分解其中是正定矩阵是正交矩阵则 . 证明 充; 必要性 由及均为正定矩阵知它们均有正定平方根和平方根是唯一的,故. 定理 3.3.2 任一实满秩矩阵可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之积且这种分解是唯一的这个分解也称为矩阵的QR分解. 证明 设其中为的列向量 为实满秩矩阵 线性无关 则可用施密特正交化方法令 (3-3-1) 其中 再将单位化令 (3-3-2) 则为标准正交基而为正交阵 由(3-3-1)和(3-3-2)解出得 其中为上三角阵且为正实数. 再证唯一性 设还有正交阵及对角线元素为正实数的上三角阵使.下证 令则则既是正交阵又是上三角矩阵即为对角矩阵但与的主对角线元素为正实数从而 而由是正交阵 即 事实上设是任一阶实满秩矩阵则可唯一地分解成以下形式之一: 其中为正交阵为主对角元均正的上三角矩阵; 其中为正交阵为主对角元均正的上三角矩阵; 其中为正交阵为主对角元均正的下三角矩阵; 其中为正交阵为主对角元均正的下三角矩阵; 证明 已经证明. 此时非奇异按可得从而 令则仍为主对角元都为正的上三角矩阵 令则仍为正交阵从而 同理对与用的结果可证明和 例3.3.1将分解为正交矩阵与上三角矩阵之积. 解 令其中为的列向量对用施密特正交化方法得到正交向量即 再单位化得即 令 ,则为正交矩阵为上三角矩阵并且. 注 可见在掌握分解定理时对证明的思路及步骤也必须熟练掌握.这样在求矩阵的分解时才能用到. 例3.3.2 (华中师设是n阶实可逆阵.求证存在阶正交阵和使,其中且为的全部特征值. 证明 由定理1知存在正交阵和使(3-3-3) 其中的特征值均为正且为的全部特征值 由为正定阵从而存在正交阵使得 (3-3-4) 将(3-3-4)代入(3-3-3)得 即 (3-3-5) 其中均为正交阵 注 我们可以将(3-3-5)改写为这就是的一个分解即实可逆阵表示为(正交阵)(正定阵)(正交阵)之积. 例3.3.3(浙江大学天津师范大学)设为实矩阵, 则矩阵其中分别为阶和阶的正交矩阵而. 证明 由题意知不是正定阵 从而存在正交阵使 (3-3-6) 又 不失一般性不妨设 令 由(3-3-6)得(3-3-7) 将分块令 (3-3-8) 由于为正交阵 用左乘右乘(3-3-8)两端得 (3-3-9) 令 则为实矩阵且 (3-3-10) (3-3-11) 由(3-3-11)得 (3-3-12) 由于 有个线性无关的解将它们正交单位化后构造矩阵这样由可得 但 令由于 从而为正交阵并(3-3-8)(3-3-13)式 由(3-3-14)式得 (3-3-15) 其中 由(3-3-15)知 (证法二)由假设存在阶与阶可逆矩阵使 对作分解, 其中分别为m阶与n阶正交矩阵分别为非奇异的正三角矩阵与下三角矩阵则(3-3-16) 其中为的 阶顺序主子阵为的 阶下三角顺序主子阵 所以是阶可逆矩阵因而存在正交矩阵,使 ,其中. (3-3-17) 令 将(3-3-17)代入(3-3-16)得 且. 例3其实矩阵分解的一个类型也就是矩阵的奇异值分解问题而由矩阵的奇异值分解我们可以得到矩阵的另一种分解模式即矩阵的极因子分解问题 定理3.3.3设为阶实方阵那么 必有分解式其中为正交阵; 当时式中的分解是唯一解. 证明 由矩阵的奇异值分解知存在正交阵使得其中 , 其中 (3-3-18) (3-3-19) 其中 用左乘(3-3-18)式两边得 其中 用右乘(3-3-19) 式两边得 例3.3.4 设为任意n阶实矩阵且 则这里为正交矩阵. 证明 由矩阵的极因子分解我们有 ,其中为正交阵 ,这里为正交阵 注 当是非奇异矩阵时本条极易证明. 由 得这证明是正交矩阵 以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系但作为正交阵分解本身而言也是特殊的. 例3.3.5 设是正交矩阵求证存在正交阵使得. 证明 是正交阵存在可逆阵使 显然存在正交阵 而 例3.3.6 设为阶矩阵且证明:秩+秩.(厦门大学06) 解 由于则因此为的化零多项式从而有所以的最小多项式的根只能为-1或1. 又的特征多项式与最小多项式有相同的根因此的特征值为-1或1.假设的特征值中有个-1(或1)则的另外的个特征值必为-1(或1). 故而存在正交矩阵使得 则有 因此 同理可得 则有 从而有 秩+秩 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 如果线性方程组的系数阵是列正交矩阵则其有唯一解 例3.4.1 设为正交矩阵且求解矩阵方程 解 的第一行为单位向量因而 的第一列为单位向量因而 将的正交三角分解代入的正规化方得即所以正规化方程的解为此即原方程的最小二乘解.如果是实矩阵则 例3.4.2 用分解解线性方程组其中 解 将的三个列向量正交化可得 再单位化得 则由于所以由可得 所以 将代入原方程组成立.所以它是原方程组的解. 例3.4.3 方程组显然无解但列满秩矩阵的正交分解为 因此原方程两端同乘以得 显然这是原方程组的最小二乘解. 理论中经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理想要得到复空间中保持度量不变的线性变换就应该对正交变换进行推广将其推广到复数域上那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵. 设是复数域上一个线性空间在上定义了一个二元复函数称为内积记作它具有以下性质: 1) 是的共轭复数; 2) ; 3) ; 4) 是非负实数且当且仅当. 这里是中任意的向量是任意复数这样的线性空间称为酉空间. 例4.1.1 在线性空间对向量 定义内积为 显然上述内积满足定义4.1.1中的条件.这样就成为一个酉空间. 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似有一套平行的理论因此在这只简单地列出重要的结论而不详细论证. 是的共轭复数. . 由和设则 因为在酉空间V中对于是一个非负实数所以可以像空间那样定义向量的长度为 这样中任意非零向量的长度总是一个正实数长度是1的向量称为单位向量.显然都有 在一个酉空间中柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立.设则且仅当与线性相关时等号成立. 注意:酉空间中的内积一般是复数故向量之间不易定义夹角但仍引入 向量当时称为正交的或互相垂直. 在一个酉空间里同样可以定义正交组和标准正交组的概念. 酉空间的一组两两正交的非零向量叫做的一个正交组. 若一个正交组的每一个向量都是单位向量则称这个正交组是一个标准正交组. 在一个有限维酉空间中同样可以定义正交基和标准正交基的概念.正交化方法对于酉空间的向量仍然适用任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化并扩充为一组标准正交基并且对于的任意一个基可以通过正交化方法将它化为标准正交基. 设是酉空间的一个有限维令 则也是的子空间叫做的正交补.我们有 与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵.设表示复数域上的全体阶矩阵的集合.记 (是的共轭复数). 定义4.2.1 一个满足的阶复矩阵叫做一个酉矩阵. 定义4.2.2 若阶复方阵满足则称为酉矩阵. 定义4.2.3 若阶复方阵满足则称为酉矩阵. 定义4.2.4 若阶复方阵满足则称为酉矩阵. 定义4.2.5 若阶复方阵的个行(列)向量是两两正交的单位向量则称为酉矩阵. 从定义知酉矩阵是可逆矩阵.根据定义4.2.5可得阶酉矩阵的个行(列)向量构成的标准正交基. 性质1 设阶矩阵为酉矩阵则 酉矩阵的行列式的模(绝对值)等于1.即或者. 的伴随矩阵也是酉矩阵. 都是酉矩阵. 证明 由得 从而或者. 所以为酉矩阵. 因为所以是酉矩阵. 因为所以是酉矩阵. 因为所以是酉矩阵. 例4.2. 令则 , (1)因为 即所以是酉矩阵. (2) 因为所以故由(1)知所以是酉矩阵. (3) 即也是酉矩阵. (4) ;.因,也为酉矩阵. 性质2 (酉矩阵的乘积和乘方)设和是酉矩阵则 也是酉矩阵. 证明 因为所以是酉矩阵同理可证也是酉矩阵. 为正整数是酉矩阵. ;;;也是酉矩阵 ,也是酉矩阵. ,(为正整数)也是酉矩阵. 设是酉矩阵则 也是酉矩阵. 证明 因为 所以是酉矩阵. 因为 所以是酉矩阵. 定理 与酉矩阵酉相似的矩阵也为酉矩阵.为酉矩阵为酉矩阵则也为酉矩阵. 证明 由为酉矩阵则. 所以是酉矩阵. 性质3 设是酉矩阵则对的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换所得矩阵仍为酉矩阵. 证明 设其中是的两两正交单位向量.显然 ()也都是的两两正交的单位向量.由定义知结论成立. 性质4 设是上(下)三角的酉矩阵则必为对角矩阵且主对角线. 证明 不妨设是上三角的酉矩阵.则其逆矩阵(上三角)等于其共轭转置(下三角)所以只能是对角矩阵.又故可得的主对角线 二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一 这里为整数. 证明 必要性 设是二阶酉矩阵于是 即 展开得 (4-1) (4-2) 由(4-1)式得 ,, 于是可设 (4-3) 其中和为非负实数且 当时即可得定理中的形式. 当时即可得定理中的形式. 当且时. 显然(4-2)式中第一个等式与第二个等式等价把(4-3)代入(4-2)的第一个等式得 根据实部、虚部同时为零有 利用和差化积公式可得 以上两式左端平方求和可得 再次利用和差化积公式有 另外(4-2)中第三个等式与第四个等式等价把(4-3)代入(4-2)的第三个等式与上述推导同理可得 所以即可得定理中的形式. 充分性 设为定理中的三种形式之一. 当为形式或形式时通过简单计算可知为酉矩阵. 当为形式时由于在必要性的证明过程中每一步推导都是可逆推的因此可以全部反推回去即得.所以为酉矩阵. 性质6 设是酉矩阵若是反矩阵则也是酉矩阵因此 证明 因为 因此当是反矩阵时记也是酉矩阵从而 酉矩阵的和未必是酉矩阵. 性质7 对任意的阶酉矩阵和阶可逆矩阵有. 性质8 对任意的阶酉矩阵和阶酉矩阵有. 性质9 设是酉矩阵则的特征值的模为1即分布在复平面的单位圆上. 证明 设则由可于是而故即 性质10 设为酉矩阵是的特征值则是的特征值而是的特征值. 证明 设是的特征值则而又可知是的特征值但与的特征值全部相同因此是的特征值,所以是的特征值. 性质11 设是酉矩阵则属于的不同特征值的特征向量正交. 证明 设是的属于特征值的特征向量是的属于特征值的特征向量.由可得 所以而从而故即与正交. 性质12 设是酉矩阵且为矩阵则必为对合矩阵从而的特征值等于1或. 证明 由得又因矩阵的特征值为实数所以的特征值等于或1. 性质13 矩阵为酉矩阵的充分必要条件是 这里表示行列式的模表示的共轭复数. 证明设是酉矩阵. 且. 在等式两边左乘的逆矩阵并注意到可得 所以 设则 ,两边取行列式并注意到得但由的非奇异性知.从而注意到及可得于是有.由知为酉矩阵. 性质14 维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵. 性质15 酉空间的线性变换满足就称为的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 性质16 如矩阵满足则叫做埃尔米特矩阵.在酉空间中令是埃尔米特矩阵则也是对称变换. 性质17 若是埃尔米特矩阵则酉矩阵使是对角. 性质18 设为埃尔米特矩阵二次齐 叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵当时 . 证明 因为为埃尔米特矩阵所以其中为实数.令 则 5酉矩阵的应用 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 定理5.1.1 设是一个级可逆复矩阵则可以分解成其中是酉矩阵是一个上三角矩阵其中对角线元素都是正实数并证明这个分解是唯一的;也唯一地存在酉矩阵和主对角线元素为正数的下三角矩阵使得. 证明 设其中为的列向量 可逆即为实满秩矩阵 线性无关 则可用施密特正交化方法令 (5-1) 其中 再将单位化令 (5-2) 则为标准正交基而为酉矩阵 由(5-1)和(5-2)解出得 其中为上三角阵且为正实数. 再证唯一性 设还有酉矩阵阵及对角线元素为正实数的上三角阵使.下证 令则则既是酉矩阵又是上三角矩阵即为对角矩阵但与的主对角线元素为正实数 而由是酉矩阵 即 所以分解是唯一的. 后者同理证明. 定理5.1.2 (三角化定理)任意的复方阵酉相似于上三角矩阵.即对任意阶矩阵存在酉矩阵使得其中为矩阵的特征值称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解. 例5.1.1 设为阶实矩阵为阶单位矩阵. 求证 其中为虚数单位.(清华大学06) 证明 由性质1知存在可逆的酉矩阵使得 从而有 由于为阶实矩阵所以的特征多项式为次实多项式又实多项式的复根是成对共轭出现的因此的复特征值是成对共轭出现的. ①当的所有特征值都不是(或)则的特征值不存在(或).则此时 且有 , 而此时 从而得 ②当的特征值中存在有(或)则一定有一特征值(或)存在.并且有几个(或)存在相应的就有几个(或)存在. 又由于 从而知 ()中不为零的个数 ()中不为零的个数 从而可得 定理5.1.2′ 任意阶矩阵存在酉矩阵使得其中且为矩阵的特征值 例5.1.2 设为级矩阵求证 存在正整数使得秩()秩(); 若存在正整数使得秩()秩()则对于任意正整数秩()秩(). 证明 由性质知存在酉矩阵使得 其中且为矩阵的特征值. 不妨假设,则可得 为可逆矩阵因此对任意的正整数有 (5-3) 又对任意,且 (5-4) 因此可令则由(5-4)式知 (5-5) 由(5-5)得对任意的有 从而由(5-3)(5-5)得且对任意的正整数也有 通过上述的讨论对矩阵的分解有了一定的认识. 定理5.1.3 (矩阵的酉相抵标准)设复矩阵的秩是则有酉矩阵和使得 其中为正实数为的所有非零特征根而矩阵中右下角的O为零矩阵. 定理5.1.4(矩阵的奇异值分解)设且则存在阶和阶的酉矩阵使得其中 人造卫星常常需要将一些照片发回地面控制中心.大部分照片的规格是(像素)即每幅图片实际上包含超过260000个数据因此将这些数据全部传输需要大量的计算并花费大量的时间.所以往往在传输之前必须对原始数据进行压缩.以下我们需要叙述利用奇异值分解进行图像压缩的过程. 用矩阵表示要传输的原始数据.设是的一个奇异值分解.其中对角矩阵的对角元素(即的奇异值)从小到大排列.假定我们选择前个大奇异值进行图像传输就是说仅传输奇异值以及相对应的左右奇异向量则我们实际上传输了个数据而不是原来的个数据.比值称为图像的压缩比(其倒数称为数据压缩率).利用矩阵的截尾奇异值分解可根据实际接收的数据还原图像 显然较大的可以获得保真度较高的还原数据较小的可以获得较高的传输效率.在实际应用时可以根据不同的需要适当选择以获得满意的还原数据. 定理5.1.5(方阵的极分解)任一复方阵可表示为 其中为酉矩阵为半正定方阵且由唯一决定. 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角矩阵 在高等代数中我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵并且讨论过对已知实对称矩阵求正交矩阵使得为对角矩阵的一般歩骤类似的我们可以讨论当是正规矩阵时求酉矩阵使得为对角矩阵. 引理 5.2.1(规范方阵谱定理)复方阵酉相似于对角阵的充要条件是为复正规阵.即对复方阵若存在阶酉矩阵使得是复正规阵. 证明 必要性显然. 充分性 由三角化定理知任意复方阵必可酉相似于上三角阵即存在阶酉矩阵使 (5-6) 由条件得 把(5-6)及其共轭转置式代入等式(5-7)直接计算可得 从而酉相似于对角阵. 特别地由于酉阵是复正规阵因此根据引理5.3知任一酉矩阵均酉相似于对角阵且对角线. 即酉方阵必酉相似于为实数 由是酉方阵则. 故即知 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵. 在高等代数中我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵并且讨论过对已知实对称矩阵求正交矩阵使得为对角矩阵的一般歩骤类似的我们可以讨论当是正规矩阵时求酉矩阵使得为对角矩阵具体步骤如下: (1) 根; (2) 求每一个相异特征值征向量; (3) 正交单位化的方法求的标准正交基; (4) 命则酉矩阵满足 若是正规矩阵则酉相似于对角矩阵即存在酉矩阵 则于 而对角矩阵的次幂是由各对角元素的次幂组成所以通过的相似对角矩阵求. 例5.2.1 已知酉矩阵使. 解 易验证是实反对称矩阵则存在酉矩阵使 由多项式 求得的特征值根据这几个特征值求的正交的单位特征向量. 当时 令 令 由于 同理可得 正交矩阵与酉矩阵均有许多良好的性质它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位 引理6.1 设是则为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵使其中的模为1. 引理6.2 设则为正交矩阵的充要条件是有个两两正交的单位特征向量且特征值的模为1. 定理6.1 任一个阶酉矩阵一定正交相似于分块对角矩阵 其中,,是的所有不同的复特征值. 证明 的所有特征值全为由引理6.1和引理6.2知一定正交相似于对角矩阵若有复特征值则也是的特征值. 因此可设有, 设是属于的单位特征向量则属于的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交于是互不相同两两正交 令易知与为相互正交的实向量. 设为的属于特征值的相互正交的单位实特征向量则为一个酉矩阵. 所以即正交相似于. 定理表明如果酉矩阵的特征根都是虚根则它在复数域上一定可对角化. 定理6.2 设是酉矩阵其中为实矩阵则为实对称矩 阵且. 证明 由可得从而及即为实对称矩阵. 定理6.3 已知有特征值那么存在一个酉矩阵使得 其中是上三角矩阵即.如果且的所有特征值都是实数那么可选择为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明. 设定理成立. 假设定理也成立当时成立. 设为的特征值为它的单位特征向量 由施密特正交化过程存在使两两正交且构成的标准正交基. 令这是一个阵使 由于所以 由于为阶矩阵由归纳假设存在阶矩阵使为上三角矩阵令显然为酉矩阵且 是上三角阵. 由归纳原理可知定理成立. 对于实阵与正交阵的证明均可用数学归纳法证明. 正交矩阵与酉矩阵的性质和应用 第 1 页 共 64 页 正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

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