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怎么判断一个矩阵能否对角化

时间:2020-03-19

  (1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;

  (2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k

  (3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;

  n阶单位矩阵的所有特征值都是1,但是它仍然有n个线性无关的特征向量,因此单位矩阵可以对角化。

  有n个不同的特征值,则A可对角化。因为复数域上的n次多项式恰有n个根,所以我们还有下面的推论。

  2、如果A的特征多项式在复数域上的根互不相等,那么A作为复数域上的矩阵一定可以对角化。

  2.有等根,只需要等根(也就是重特征值)对应的那几个特征向量是线性无关的,那么也可以对角化,如果不是,那么就不能了。