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为什么实对称矩阵一定能对角化?

时间:2020-03-18

  (一) 如果这个定理满足,实对称矩阵显然是正规矩阵,且其特征值一定为实数,那么其相似于对角矩阵,所以一定可以对角化

  是一个上三角矩阵,只需要比较对角线上的元素,你就会发现矩阵是个对角矩阵,得证

  这里结合Jordan标准型给出一种较为明显的利用到对称性的证明方法,可能会比较好理解一些。

  如果不计较主对角线上块的先后次序,则该标准型是唯一的。显然对于实对称矩阵,上述结论自然是成立的。

  如果A是实对称阵, 那么A=它的共轭。 因为可对角化,幂零, 由分解唯一性知,所以D,N都是实矩阵。A=A的转置 A=D+N.同样,由分解唯一性知, D=D,N=N都是对称阵。

  否则,因为N幂零, 存在k=1, 有。因为2k=k+1,所以. 但,由于是非0实矩阵, 看trace知道右边非0. 矛盾。

  我们要找到这样一个酉矩阵,使得。先构造酉矩阵:令的第一列为矩阵A的单位特征向量,则与的第一列分别为与。的其他n-1列不需要是A的特征向量,只需要能与一起组成酉矩阵的标准正交列向量(orthonormal columns)。可得:

  接下来用归纳法继续证明。对于1阶矩阵,显然Schur’s theorem成立。假设对于任意n-1阶矩阵,Schur’s theorem成立,即存在酉矩阵,对于n-1阶方阵,有。

  在Schur’s theorem的基础上,只需再证明当A是实对称阵时,T为对角阵,即有。已知对称阵的特征值为实数。由Schur’s theorem,,其转置矩阵也为,即T为对称阵。由T既是上三角阵,又是对称阵可知,T是对角阵:。这也就证明了对于实对称阵A,存在正交阵Q,使,即实对称阵一定可以对角化。

  参见《高等代数(北大版)》第九章:欧几里德空间,第六节:实对称矩阵的标准型。

  最简单的证明是通过这个定理:复数域上的方阵 A 酉相似于对角阵 《=》A 为规范阵

  由定理很容易理解,相应的酉阵其实是 A 的特征向量组成(由此可知n阶规范阵必有n个特征向量)

  由定理,实对称阵酉相似于对角阵,相应的酉阵省略复数系数就可以转化成实数阵。

  首先我们假设是上的埃尔米特矩阵,显然特征多项式能够分解成线性因子,且为正规矩阵,谱定理告诉我们能够被正交对角化。如果,那么,所以对角矩阵中所有的值都是实数,也就是说的所有特征值都是实数。

  现在如果是一个实对称矩阵,那么从上一段中可以知道在上也是分裂的,那么必定能被正交对角化。

  谱定理说如果,,如果令为的一个正交标准基(存在因为Gram-Schmidt)

  还是一样的假设,由舒尔定理(Gram-Schmidt可证),存在正交标准基使得为上三角矩阵。

  可以证明正规矩阵为上三角矩,则改矩阵为对角矩阵(概要:考虑正规矩阵的块上三角表示, 用迹内积或者归纳法证明)

  于是能够被正交对角化。这里没有用到任何的特征值,只是用到了正规矩阵的性质。

  今天又看了一遍线代,这次看懂了,不知道是不是版本不同,这次看的是5th。记录在这里。

  ,特征值是通过求解的,这个方程是关于的n次等式,也就是一定会有n个解,但不一定都是实数,有可能是复数。

  对称矩阵如果有足够的特征值,也就是n个特征值都是实数,那也就有足够的特征向量。只要证明特征向量都是实数就可以了。