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第3节酉相似对角化

时间:2020-03-18

  1、正规矩阵定义:下列类型的矩阵都是正规矩阵: 实对称矩阵 -1;Hermite矩阵 满足第三节 正规矩阵与酉对角化 2、酉相似是酉相似的。 复矩阵),即是酉矩阵 实矩阵),即是正交矩阵 3、Schur定理 Schur定理 引理正规上三角矩阵是对角矩阵 证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵,则 1211 2212 11 jiji ijij diagAU 定理,则A酉相似于一个对角矩阵的充 分必要条件是A为正规矩阵,即 证明必要性 diagAU 充分性由schur定理知,A酉相似于一个上三角矩阵T, 所以由于 对角矩阵再利用引理知T 正规矩阵的性质:1、正规矩阵有n个线、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的; 3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。 判断A是否为正规矩阵,如果是,将其酉对角化即A是Hermite矩阵,从而是正规阵 得A的特征值10 经过验证它们两两正交。因此,只需将它们单位化得: 实际上,对于正规矩阵来说,属于不同特征值的特征向 量相互正交。 11正定矩阵 如果对于任意非0的向量X,成立 (X)是正定二次型,称A为正定矩阵.定理 设A是n阶Hermite矩阵,则下列命题等价 A的顺序主子式都大于0。12 提示:矩阵A为Hermite矩阵,只需求出其特征值,若特征值有三个,且全为正数,A是正定矩阵。 13 推论:设A是n阶正定的Hermite矩阵,则 -1也是正定矩阵。 trA大于每个特征值14 定理 证明 A为Hermite矩阵,故是实数。又 AxAx Ax Ax 的特征值也是非负实数。15 证明 设x是方程组A rankAA rank AxAx 线性方程组因此 的解也是反之, AArank

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